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Institut für Theoretische Physik

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Prof Dr. R. Kree Sommersemester 2002
Dr. A. Hartmann Präsenzübungen 1, 10.4.2002

Übungen zur Thermodynamik und Statistik

Aufgabe 1: (Transformation von Zufallsgrößen)

Gegeben sei eine Zufallsgröße $X$ mit Wahrscheinlichkeitsdichte $p_X(x)$ und Verteilungsfunktion $F_X(x)=P(X\le x) = \int_{-\infty}^x f_X(\tilde{x}) d\tilde{x}$, also $f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x)$

1. Die Zufallsgröße Y entstehe durch die Transformation $Y=H(X)$ aus $X$. $H$ sei streng monoton. Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte $p_Y(y)$ von $Y$?
2. Sei $X$ gleichverteilt in $(0,1]$. Wie lautet $p_X(x)$?
3. Sei $H(x)=-\log(x)$. Wie ist $Y=H(X)$ verteilt?
4. Erstellen Sie ein kurzes C Programm, das $N$ Zufallszahlen erzeugt, die gemäß der Exponentialverteilung $p(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ($x\ge 0$) verteilt sind. Das Programm soll in der folgenden Form aufrufbar sein:

   exponential <N> <lambda>

   Das Programm sollte ein normiertes Histogramm im Bereich $[0,10/\lambda]$ mit 100 Elementen erstellen und als Liste

   $x$,Häufigkeit im Intervall $[x-\delta x/2,x+\delta x/2)$

   ausgeben.
5. Erzeugen Sie Daten für $N=10000$ mit $\lambda=1$ sowie $\lambda=3$. Plotten Sie die Histogramm mit Hilfe von Gnuplot zusammen mit den Dichten $p(x)$ in linear sowie einfach logarithmischer Darstellung.

Aufgabe 2: (Dichteoperator)

Zeigen Sie folgende Eigenschaften des Dichteoperators ($\hat{\rho}=\sum_i w_i \vert i \rangle \langle i \vert$)

1. $\hat{\rho}$ ist hermitesch: $\hat{\rho}^{+}=\hat{\rho}$
2. $\hat{\rho}\ge 0$, d.h. $\langle a \vert \hat{\rho} \vert a \rangle \ge 0$ $\forall \,\vert a \rangle$.
3. Sei $\{\vert i \rangle \}$ ein Orthonormalsystem. Zeigen Sie: $\hat{\rho}$ ist rein $\Leftrightarrow$ $\hat{\rho}^2=\hat{\rho}$.
4. Berechnen Sie die Bewegungsgleichung für den Dichteoperator.