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Institut für Theoretische Physik

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blatt2

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Prof. Dr. G. Hegerfeldt Sommersemester 2001
Dr. M. Weigt Blatt 2

Übungen zur Elektrodynamik
Abgabe Mittwoch, den 9.5.2001, 12:00 Uhr (Übungskästen)

Aufgabe 4: Es sei

$$\psi(\vec x, t) = \frac{e^{-i(\omega t\pm kr)}}{r}$$

mit $\omega,k > 0$ und $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$. Eine Massenstromdichte sei gegeben durch

$$\vec j(\vec x, t) = \frac{1}{2i} \{ \overline{\psi} \nabla \psi - \psi \nabla \overline{\psi} \}\ .$$

Hierbei bezeichne $\overline{\cdot}$ die komplex Konjugierte. Berechnen Sie

$$\int_{\partial K_R} \vec j(\vec x, t) \cdot d\vec o$$

für beide Vorzeichen in $\psi$ in Abhängigkeit vom Radius Rder Kugel K_R (Mittelpunkt 0). Was passiert für $R\to 0$(Quelle oder Senke)?

Aufgabe 5: Es sei ein Kreisstrom (Radius r, Stromstärke I) um den Nullpunkt in der x-y-Ebene gegeben. Für einen weit entfernten Aufpunkt $\vec x$ ( $\vert\vec x\vert\gg r$) in der x-z-Ebene berechne man das vom Strom erzeugte Magnetfeld in Dipolnäherung. Plotten Sie die zugehörigen Feldlinien in der x-z-Ebene!
Hinweis: Der Nenner im Biot-Savart-Gesetz ist gemäß $(1+\alpha)^{-3/2}\simeq 1- \frac{3}{2}\alpha$ zu entwickeln.

Aufgabe 6: (Peilantenne) Das $\vec B$-Feld einer elektromagnetischen Welle sei gegeben durch

$$\vec B(\vec x,t)=B_0 \cos\left\{ \frac{2\pi}{\lambda} (x_1-c\cdot t)\right\} \vec e_2\ .$$

a) In welcher Richtung läuft die Welle?
b) Eine kreisförmige Drahtschleife $\partial K$ vom Radius R sei drehbar um die x₃-Achse, sie Figur. Für die Wellenlänge gelte: $\lambda\gg R$. Berechnen Sie mit dieser Näherung das Linienintegral

$$U = \int_{\partial K} \vec E \cdot d\vec s$$

(``Umlauf-(Ring)-Spannung'') in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\phi$ und der Zeit t. Für welche $\phi$ wird die Amplitude von U maximal bzw. minimal? Stellen Sie $U(\phi)$ in einem Polardiagramm dar.

Zusatzaufgabe: Analog zur Vorlesung werde vorausgesetzt, dass die Kraft eines Magnetfeldes auf ein geladenes Teilchen
(i) proportional zur Ladung q,
(ii) linear in der Geschwindigkeit $\vec v$ des Teilchens sei,
(iii) senkrecht auf $\vec v$ stehe, genauer gelte dies für $\vec F - q \vec E$, wobei $\vec F$ die Gesamtkraft und $\vec E$ die elektrische Feldstärke bezeichne.

Man zeige:
(a) Es existiert ein Vektorfeld $\vec B(\vec x)$ mit

$$\vec F - q \vec E = \frac{q}{c} \vec v \times \vec B \ .$$

(b) Aus der Linearität folgt die Existenz einer Matrix ${\bf A}$ mit

$$\vec F - q \vec E = q {\bf A}\cdot \vec v \ .$$

Wie hängen ${\bf A}$ und $\vec B$ zusammen?